Medidas Estadísticas

Conceptos Clave: Resumiendo los Datos

Además de organizar los datos en tablas y visualizarlos en gráficos, a menudo queremos resumir la información con unos pocos números clave. Las medidas estadísticas nos ayudan a hacer esto. Nos centraremos en dos tipos:

Intentan encontrar un valor 'típico' o representativo del centro del conjunto de datos.

Media Aritmética ($\bar{x}$)

Es el 'promedio'. Se calcula sumando todos los datos y dividiendo entre el total ($N$). Fórmula: $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{N}$. Se ve afectada por valores extremos.

Mediana ($Me$)

Es el valor central con los datos ordenados. Si $N$ es impar, el del medio; si $N$ es par, la media de los dos centrales. Divide los datos en 50%/50%. No muy afectada por valores extremos.

Moda ($Mo$)

Es el valor/categoría con mayor frecuencia absoluta ($f_i$) ('más común'). Puede haber varias o ninguna. Única para cualitativas.

Nos dan una idea de cuánto se 'esparcen' o varían los datos alrededor del centro.

Rango (o Recorrido)

Es la diferencia entre el valor máximo y el mínimo (Rango = Valor Máx. - Valor Mín.). Da idea de la amplitud total.

No hay una única medida 'mejor'. La elección depende del tipo de variable y de si hay valores extremos (outliers). La media es sensible a outliers, la mediana no tanto, y la moda indica lo más popular.

Comparativa Rápida (Tendencia Central):

Medida Cálculo Resumen Significado Sensible a Outliers Uso Principal
Media ($\bar{x}$) $\frac{\sum x_i}{N}$ Promedio, punto de equilibrio Sí (Alta) Numéricos (distr. simétrica)
Mediana ($Me$) Valor central (datos ordenados) Divide datos en 50%/50% No (Baja) Numéricos (distr. asimétrica / outliers)
Moda ($Mo$) Valor(es) con mayor $f_i$ Valor/categoría más común No (Baja) Cualitativos; valor más popular

Nota: Entender la sensibilidad a outliers es un primer paso hacia la interpretación crítica de los resúmenes estadísticos.

Ejemplos Resueltos: Calculando Medidas

Ejemplo 1: Edades de 8 Primos

Problema: Calcula la media, mediana, moda y rango para las siguientes edades de 8 primos: 7, 5, 8, 5, 9, 6, 8, 5.

Solución:
  • Media: $\bar{x} = \frac{7+5+8+5+9+6+8+5}{8} = \frac{53}{8} = 6.625$ años.
  • Mediana:
    1. Ordenar: 5, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 9.
    2. $N=8$ (par). Centrales: 4º (6) y 5º (7).
    3. $Me = \frac{6+7}{2} = 6.5$ años.
  • Moda: El valor que más se repite es 5 (aparece 3 veces). $Mo=5$ años.
  • Rango: Valor Máximo = 9, Valor Mínimo = 5. Rango = $9 - 5 = 4$ años.

Ejemplo 2: Impacto de un Valor Extremo (Outlier)

Problema: Calcula la media y la mediana de las notas: 10, 12, 11, 13, 14 ($N=5$). Ahora, añade una nota muy baja, 2, y vuelve a calcularlas. ¿Qué observas?

Solución:
Caso 1 (Sin outlier 2)
  • Ordenados: 10, 11, 12, 13, 14
  • $\bar{x} = (10+...+14)/5 = 12$
  • $Me =$ Valor 3º = 12
Caso 2 (Con outlier 2)
  • Ordenados: 2, 10, 11, 12, 13, 14
  • $\bar{x} = (2+...+14)/6 \approx 10.33$
  • $Me =$ Media 3º y 4º = (11+12)/2 = 11.5

Observación: Al añadir el valor extremo (2), la media bajó considerablemente (de 12 a 10.33), mientras que la mediana bajó mucho menos (de 12 a 11.5). Esto ilustra que la mediana es menos sensible a valores extremos.

Ejemplo 3: Calcular desde Tabla de Frecuencias (Notas)

Problema: Usando la tabla de frecuencias de las notas del examen (Subtema 3, Ejemplo 1), calcula la nota media y la moda.

Solución:
  • Moda: Buscar valor(es) con $f_i$ máxima. En la tabla, $f_5=5$ y $f_6=5$, que son las máximas. Por tanto, hay dos modas (bimodal): $Mo=5$ y $Mo=6$.
  • Media:
    • Sumar todos los datos usando frecuencias: $\sum (x_i \times f_i)$
    • Suma = $(4\times2)+(5\times5)+(6\times5)+(7\times4)+(8\times2)+(9\times2) = 8+25+30+28+16+18=125$.
    • $N=20$.
    • $\bar{x} = \frac{\sum (x_i \times f_i)}{N} = \frac{125}{20} = 6.25$
  • Nota Mediana: Calcular la mediana desde una tabla requiere usar las frecuencias acumuladas $F_i$ para encontrar la posición central, lo cual puede ser un paso más avanzado para 1º ESO, aunque factible.

Ejercicios Propuestos: ¡Calcula y Compara!

  1. Calcula la media, mediana, moda y rango de las siguientes alturas (en cm) de un grupo de 7 amigos: 155, 162, 158, 165, 158, 170, 160.
  2. En la encuesta sobre colores favoritos (Subtema 3, Ejemplo 2), ¿cuál es la moda? ¿Se puede calcular la media o la mediana? ¿Por qué?
  3. Las puntuaciones de 10 jugadores en un juego de baloncesto fueron: 12, 15, 8, 12, 20, 10, 15, 18, 12, 9. Calcula la media, mediana, moda y rango de las puntuaciones.
  4. La media de las edades de 4 hermanos es 10 años. Si las edades de tres de ellos son 8, 9 y 12 años, ¿cuál es la edad del cuarto hermano?
  5. Observa estos dos conjuntos de datos:
    • Conjunto A: 10, 10, 10, 10, 10
    • Conjunto B: 0, 5, 10, 15, 20
    Calcula la media y el rango de ambos conjuntos. ¿Qué observas? ¿Qué medida usarías para describir mejor el "centro" en cada caso? ¿Qué te dice el rango sobre cómo son los datos en cada conjunto?
  6. En una tienda de ropa, durante un día se vendieron camisetas de las siguientes tallas: S, M, L, M, S, M, M, XL, L, M, S, M. ¿Qué medida de tendencia central sería más útil para que el dueño de la tienda sepa qué talla pedir más la próxima vez? Calcúlala.

Ideas para Actividades y Herramientas

Estadísticas Humanas Ordenadas

Descripción: Ordenar alumnos en fila (altura, fecha nac...). Identificar Mediana (centro). Agrupar por valor (nº hermanos) para ver Moda (grupo mayor). Calcular Media sumando valores. Calcular Rango (máx-mín).

Objetivo: Vivenciar el significado de cada medida a través de la posición y agrupación física. Ordenarse para la mediana es especialmente clarificador.

Calculadora Interactiva de Medidas

Descripción: Widget/App para introducir lista de números. Calcula y muestra automáticamente: Suma, N, Media (cálculo), Datos ordenados, Mediana (identificando centrales), Moda (recuento frec.), Rango (máx/mín). Permite modificar datos y ver cambios (efecto outlier).

Calculadora Estadística Básica
Resultados

Media: --

Mediana: --

Moda: --

Rango: --

(Nota: Funcionalidad de cálculo no implementada en esta demo)

Objetivo: Facilitar la exploración y el descubrimiento de las propiedades de cada medida (especialmente la sensibilidad de la media vs. mediana a outliers) sin el tedio del cálculo manual repetitivo.

Juego "Elige la Medida Adecuada"

Descripción: Presentar diferentes escenarios mediante descripciones cortas o gráficos simples (ej: un histograma muy asimétrico de salarios, un diagrama de barras de colores favoritos, un conjunto de notas muy agrupadas). La pregunta es: "¿Qué medida (media, mediana o moda) describe mejor el 'centro' o el valor 'típico' en esta situación?". El alumno elige una opción y recibe una explicación de por qué es o no la más adecuada.

Objetivo: Desarrollar el juicio crítico sobre cuándo utilizar cada medida de tendencia central, yendo más allá del simple cálculo y enfocándose en la interpretación y la adecuación al contexto.